Paseos aleatorios

Introducción

El Dr. Francisco Almaguer nos introduce a los paseos aleatorios explicando sus propiedades, comportamiento e interpretación, así como diversas aplicaciones de éstos en áreas de finanzas, biología y matemáticas.

Resumen

Un paseo aleatorio o caminata aleatoria es una sucesión de eventos aleatorios independientes que al hacerles una suma acumulada definen una trayectoria. La posición final de la trayectoria tiende a una distribución normal con media en el origen y varianza igual al número de pasos realizados, es decir la cantidad de sucesiones. Para medir la dependencia lineal entre un conjunto de variables o la que existe en una serie de tiempo utilizan la función de autocorrelación de ruido Gaussiano.
La primera de las aplicaciones presentadas fue en el área de finanzas, en este caso se busca encontrar una tendencia en una serie de datos financieros del IPC (Índice de Precios y Cotizaciones), indicador más importante del Mercado Mexicano de Valores, cuyo valor es calculado mediante una fórmula iterativa en el tiempo que se actualiza día a día dependiendo de diversos precios, acciones y ajustes. Del análisis de los datos de los últimos 30 años del IPC, se nos muestra que el incremento relativo del índice en escala logarítmica es una variable aleatoria la cual tiene un comportamiento similar a un ruido Gaussiano.
Otra aplicación es la búsqueda de secuencias de bases nitrogenadas en moléculas de ADN, cada especie tiene una secuencia distinta de estas bases que se forman de adenina (A), guanina(G), timina (T) y citosina (C). Existen al menos tres maneras diferentes de transformar una secuencia de bases en una secuencia numérica, con esto es posible formar los paseos aleatorios de diferentes muestras de ADN e incluso analizar similitudes entre distintas especies.
Como última aplicación se mostró el uso de caminatas aleatorias para generar secuencias de números primos, para esto se midieron las diferencias entre números primos sucesivos, encontrando que la distribución de estos “saltos” entre números tiene un comportamiento similar a otras distribuciones con una dependencia lineal entre los números sucesivos, aunque aún no está bien definido a cuál distribución se asemeja, sugiere la presencia de un factor aleatorio en la secuencia de los números primos.

Conclusiones

En este seminario se explicó la caminata aleatoria, sus propiedades, su generación, además del uso de la función de autocorrelación. También se compartieron diversas aplicaciones para encontrar tendencias en indicadores financieros, secuencias de ADN y secuencias de números primos.

Ligas de interés

• Formula del IPC. [EN LÍNEA]
• Base de datos del IPC. [EN LÍNEA]